ЦИФРОВАЯ БИБЛИОТЕКА УКРАИНЫ | ELIB.ORG.UA


(мы переехали!) Ukrainian flag (little) ELIBRARY.COM.UA - Украинская библиотека №1

Семантика следования (для системы E)

АвторДАТА ПУБЛИКАЦИИ: 21 февраля 2005
АвторОПУБЛИКОВАЛ: Администратор
АвторРУБРИКА:




Е.А.Сидоренко

Семантика следования
(для системы E)*
Данная статья продолжает исследования автора по двухуровневой (двухэтажной) реляционной релевантной семантике с бинарным отношением достижимости, начало разработки которой было положено в работах [1-3]. Основное внимание сосредоточено на техническом построении и анализе самой семантики, ее содержательном и философском обосновании. Семантика строится, исходя из содержательных интуитивных представлений о следовании, а затем демонстрируется, что класс семантически истинных формул совпадает с классом теорем известной релевантной системы E.


Основные идеи и технические результаты по двухуровневой реляционной семантике релевантной логики были до сих пор наиболее полно изложены мной в [3]. Настоящая работа во многих отношениях существенно отличается от упомянутой. Там главная цель состояла в том, чтобы “застолбить” оригинальный подход к проблеме, осуществить техническое построение реляционной семантики (причем с бинарным отношением достижимости) для известных исчислений релевантной логики [5] и в первую очередь таких, как E, R и NR. Важно было сделать упор, во-первых, на то, что эта семантика является именно бинарной, так как для релевантной логики удавалось построить реляционную семантику только с тернарным отношением достижимости [6,9,13], что делало весьма проблематичной сколько-нибудь удачную ее содержательную интерпретацию. А, во вторых, на то, что предлагаемая семантика была адекватна названным исчислениям, ибо семантик как таковых, вообще говоря, строилось и может быть построено сколько угодно. Теперь, когда названные цели достигнуты, можно сосредоточится на анализе самой семантики, ее содержательном и философском обосновании, более тщательное внимание уделить проблеме адекватности семантики, а также вопросам отработки понятийного аппарата.

1. Теоретические и идейные предпосылки двухуровневой семантики следования

От обычной реляционной семантики крипкевского типа обсуждаемая семантика (мы обозначаем ее как Sea) отличается тем, что миры (в содержательном плане их более уместно называть универсумами рассуждения), обозначаемые как w1, w2,..., являются двухуровневыми, имея, так сказать, два этажа. Первый из них (этаж a) - это обычный крипкевский мир (карнаповское описание состояний, атомарный мир), обозначаемый для мира wi как wia. Второй этаж wie (мир следствий, этаж e, от слова entailment) - это некоторый список формул объектного языка.

Ниже все эти понятия будут определены с необходимой точностью. Пока укажем только, что попадание формул на второй этаж связано исключительно с признанием верности некоторого высказывания о следовании вида A ®B или эквивалентного ему. Высказывание A ®B является истинным (верифицируется) в некотором мире wi (равнозначно сказать - на первом этаже этого мира wia) только в том случае, когда в каждом достижимом из wi мире wj, в котором истинно A, на втором его этаже имеется B. Что же дает такое разнесение антецедента (условия, основания) A и следствия B, входящих в высказывание A ®B, по разным этажам?

Допустим Вам известно, что два высказывания A и B сейчас, на данный момент истинны. Достаточно ли этого, чтобы утверждать, что одно из них влечет другое? Если Вы не отождествляете следование с материальной импликацией, и имеете в виду реальную связь между тем, о чем говорится в этих высказываниях, то ответ, очевидно, будет отрицательным. Ибо истинными одновременно эти высказывания могут оказаться чисто случайно, и одно из них может говорить о бодливой козе, а другое - об уравнении Шредингера.

Таким образом, одновременной истинности A и B в некотором мире для признания истинности высказывания A ®B с релевантной импликацией (т.е., с такой импликацией, которая изначально должна отображать только уместные реальные связи между высказываниями и соответствующими им событиями) явно недостаточно. Реляционная семантика крипкевского типа позволяет ввести дополнительное условие истинности для A ®B в мире wi. В этой семантике задается отношение достижимости между мирами. Содержательно это может быть представлено так, что один мир достижим из другого (возможен относительно другого), если отличается от него истинностью только случайных высказываний, сохраняя при этом истинность всех необходимых.

Чтобы признать A ®B в данном мире нужно, чтобы B было истинно во всех тех достижимых мирах, где истинно A. Теперь совместной истинности (может быть, чисто случайной) A и B в некотором мире для признания верности A ®B в этом мире уже будет недостаточно. Однако семантические трудности с установлением корректных условий истинности утверждений о следовании и в этом случае не будут до конца преодолены. Должны ли мы будем считать истинным любое из высказываний A ®B в мире, где A - необходимо ложно или B -необходимо истинно? Формально требуемое условие в этом случае соблюдается, но A и B опять-таки могут быть из “разных опер”, т.е., говорить о заведомо никак не связанных событиях.

Это обстоятельство, кстати сказать, вызвало определенные трудности при построении семантики следования для так называемой первопорядковой релевантной логики. Речь идет о логике, описывающей все приемлемые утверждения вида A ®B, где A и B являются формулами классической логики и не содержат отличного от классических экстенсиональных связок знака “ ®” релевантного следования. В этой логике являются неприемлемыми такие утверждения, как p ®qÚ Ø q и pØ p ®q. Как отвергнуть их в рамках семантики возможных миров, если (при сохранении за классическими связками их смысла) приходится дизъюнкцию qÚ Ø q считать всегда истинной, а конъюнкцию pØ p всегда ложной. Выход находится. В число “возможных“ вводятся миры, во-первых, неполные (т.е., такие, в которые совсем не обязательно входит либо некоторая переменная a, либо ее отрицание Ø a, так что в некотором мире оказывается невозможным верифицировать ни q, ни Ø q). И, во-вторых, миры “невозможные”, противоречивые (допускающих одновременное наличие a и Ø a), в которых в силу этого, напротив, можно верифицировать все что угодно, включая противоречие pØ p. Проблема оказывается решенной, так как для любой классической формулы всегда найдется такой мир, в котором ее можно верифицировать, и такой, в котором ее можно фальсифицировать. Иначе говоря, решение достигается за счет того, что невозможных и необходимых формул в языке классической логики в рамках предложенной семантики попросту не оказывается.

Изложенный подход может еще быть признан удовлетворительным, пока мы остаемся в рамках первопорядковой теории следования. Что делать однако, если в A ®B допускается итерация (повторение) знака следования и на месте A и B стоят опять-таки импликативные формулы? Считать ли, например, верной любую формулу вида A ®(B ®B)? В релевантной логике такая формула по понятным причинам в качестве логического закона отвергается. Или, скажем, формулу A ®(A ®A)? Последняя представляется мне совершенно необоснованной, но в некоторых релевантных (мингловых) системах принимается. Как получить для отвержения этих формул семантические основания, если они удовлетворяет требованию, что во всех мирах, где истинно A, всегда истинно B ®B и A ®A? Естественно, что на месте B ®B и A ®A могла бы стоять любая семантически истинная формула. Аналогичным образом будет обстоять дело, если ставить на место A в A ®B любую семантически ложную формулу, например, Ø (С ®С).

Можно ли для преодоления этой трудности поступить также, как это было сделано в случае первопорядковой теории следования. То есть, опять-таки изобрести возможность, чтобы любую формулу в каких-то мирах можно было всегда верифицировать, а в каких-то фальсифицировать. Кажется, что единственно возможным ответом должен быть отрицательный. Действительно, в том рассмотренном первопорядковом языке можно было сами утверждения о логическом следовании либо вообще не относить к объектному языку, либо относить к этому языку только первопорядковые утверждения о следовании. И только эти последние характеризовать как семантически истинные или ложные.

Иначе говоря, язык, для которого мы могли строить семантику, не должен был бы включать выражений вроде закона контрапозиции A ®B ®.Ø B ®Ø A, транзитивности импликации A ®B ® .B ®C ® .A ®C и вообще любых формул, в которых знак следования стоит не только на месте главной связки.

Трансформировать первопорядковую семантику следования в семантику итерированного следования - значит каким-то образом совместить две казалось бы несовместимые вещи. С одной стороны, признавать все теоремы (скажем, A ®AÚ B ) релевантной логической системы семантически истинными (т.е., истинными во всех возможных мирах), а с другой, чтобы отвергнуть C ® .A ®AÚ B при некотором произвольном C, иметь возможность указать мир, в котором C верифицируется, а C ® .A ®AÚ B фальсифицируется.

Попытка добиться нужного результата за счет изобретения способов фальсификации A ®AÚ B , если даже что-либо подобное и удастся, вряд ли будет приемлемой. Ну, пусть мы придумаем некие алогичные возможные миры, в которых можно будет “проваливать” логически истинные утверждения, но ведь предварительно их (эти самые логически истинные утверждения) уже надо семантически описать, отделив от тех, которые не признаются релевантными.

Оказывается есть возможность пойти по более естественному, а главное, содержательно оправданному пути. Для этого необходимо признать две весьма очевидные вещи.

Первое. Не просто истинности, но даже и необходимой истинности B (как и необходимой ложности A) недостаточно, чтобы утверждать на этом основании наличие между A и B какой бы то ни было связи. В рамках построения семантики следования это означает, что условие, согласно которому в каждом достижимом мире, в котором истинно A, должно быть истинным B, является необходимым, но не достаточным для признания верным A ®B.

И, второе, надо освободится от иллюзии, что семантика возможных миров (как и вообще любая семантика) способна сама по себе предоставить нам некоторую новую информацию о связи событий (и говорящих об этих событиях высказываниях) помимо той, которую мы уже вложили заранее при описании и определении возможных миров. Скажем, два события мы считаем связанными между собой на том основании, что во всех возможных ( или во всех достижимых) мирах одно невозможно без другого. Но на каком основании миры, в которых дело обстоит иным образом, оказались для нас невозможными, или недостижимыми, или какими-то там еще? Очевидно, только потому, что определенные предпосылки относительно и миров, и высказываний того или иного вида уже приняты. Отчего это AÚ B не может не быть истинным в мире, где таковым является A ? Да только и только потому, что так определены условия истинности выражения AÚ B .

Допустим однако, что нам удается установить, что в рамках принятой нами семантики для некоторых двух формул (предложений) A и B дело обстоит таким образом, что в любом возможном мире, где истинно А, таковым является также и В. Мы имеем дело с некоторым эмпирическим фактом, с фактическим положением дел. Это определенным образом характеризует предложенную семантику. Но этого отнюдь еще недостаточно для признания того, что A и B как-то связаны в реальности. Утверждение о связи, физической или логической, между ними предполагает нечто большее, и прежде всего переход на некоторый новый более высокий (теоретический) уровень. Так что, если у нас есть основания для подобного утверждения, то они должны быть определены и предъявлены. Да, в каждом возможном мире, в котором истинно A, является истинным это самое A. Достаточно ли этого, чтобы признать, что “A влечет A” ( или символически: A ®A)? Любой знающий русский язык с легкостью посчитает истинным высказывание “Автобус идет в Гусь Хрустальный или в Иваново”, если автобус идет в один из этих городов. Но кто на этом основании способен сделать заключение, что имеет место логическое следование между соответствующими высказываниями и что здесь действует закон логики вида A ®AÚ B ?

Люди начинают рассуждать логически, как и добывать огонь трением, задолго до того, как обнаруживают те законы, в соответствии с которыми их действия приводят к нужным результатам. Но это как раз и демонстрирует, какая пропасть лежит между эмпирической констатацией и теоретическим осмыслением констатируемых фактов.

Этому соответствует в нашей семантике признание двух типов утверждений об отношениях между высказываниями A и B. Утверждения первого типа являются эмпирическими (фактуальными). Они вытекают из принятых соглашений об условиях верификации логических констант языка, и говорят о том, что во всяком достижимом мире, где истинно A, в силу этих самых соглашений всегда истинно также и B. Верность таких утверждений является необходимым, но, естественно, недостаточным условием истинности утверждений второго типа (теоретических) о следовании B из A. Что же для признания такого следования нужно еще? Это теперь и есть тот основной вопрос, на который мы попытаемся удовлетворительно ответить.

В предлагаемой нами семантике Sea никакое утверждение о следовании не может быть беспредпосылочно истинным. Высказывание о следовании является теоретическим. Оно принципиально не может быть обосновано никакими эмпирическими фактами. Теоретическое высказывание может быть обосновано только теоретическими же. И эти последние не могут быть взяты ниоткуда, кроме как постулированы. Для того, чтобы установить, что A влечет B в семантике Sea надо убедиться (и это есть то дополнительное условие, без которого утверждение A ®B не может быть признано истинным), что в соответствующих мирах (тех мирах, где истинно предложение A) предложение B не только верифицируется, но и находится на их вторых этажах (в мире следствий).

Наша семантика такова, что ни в каком мире, если о нем нет некоторой информации (какой - мы сейчас скажем), не может быть верифицировано никакое утверждение о следовании вида A ®B, включая любые такого вида теоремы и аксиомы релевантных логических исчислений. Спрашивается будет ли в некотором мире wi верифицироваться AB ®A ? Да, если в каждом достижимом из wi мире, в котором верифицируется AB, на втором этаже есть A. Но ему неоткуда там взяться. И ответ - отрицательный. Другое дело, если нам известно, что в мире wi верифицируется A ®A, тогда на вопрос, верифицируется ли в этом мире формула AB ® A, ответ будет положительный. Ведь условием верификации конъюнкции AB является верифицируемость A. Отсюда ясно, что коль скоро в силу верифицируемости A ®A в каждом достижимом мире, где истинно A, на втором этаже также есть A, оно есть также на вторых этажах всех тех достижимых миров, где верифицируется AB.

Выходит мы строим семантику, в которой нельзя верифицировать никакую формулу о следовании? Но ведь любая логическая семантика строится именно для того, чтобы показать, что все теоремы некоторой логической системы истинны. Автор это понимает, и конечно же, в семантике Sea это условие будет выполнено. Правда, в отличие от всем привычных семантик трактоваться семантическая истинность будет по иному. Семантически истинной в Sea считаться будет такая формула В (символически, как обычно: Ж B), которая будет истинной в каждом мире, в котором верифицируется формула B ® B. Иначе говоря, выражение Ж B представляет собой сокращение для B ® BЖ B (при том, что выражение вида CЖD понимается обычным образом как утверждение, что во всяком мире, где истинна формула C, является истинной формула D).

Содержательно предлагаемая трактовка означает, что семантическая истинность какой бы то ни было формулы принципиально не может быть обоснована на чисто эмпирических основаниях. Такая истинность есть следствие некоторых уже принятых постулатов и языковых соглашений, связанных с условиями истинности формул с соответствующими логическими связками. В нашем случае роль постулатов играют утверждения вида B ® B. И если B оказывается истинным в каждом мире, в котором постулируется истинность B ® B, то B и считается семантически истинным.

Заметим, что в случае, когда само B имеет вид импликации A ® C, для верности утверждения ЖA ® C достаточно, чтобы во всех мирах, в которых верифицируется A, верифицировалось бы и C. Иными словами, если имеет место AЖC, то справедливо и ЖA ® C . Мы увидим в дальнейшем, что для обоснования ЖA ® C достаточно будет убедиться в верности A ® AЖA ® C или C ® CЖA ® C. И это обстоятельство естественным образом может трактоваться как тот факт, что утверждения о логическом следовании есть всегда не более, чем ослабления закона рефлексивности, связанные с языковыми соглашениями о смысле (об истинностных взаимоотношениях) соответствующих логических констант и сделанные исключительно на основаниях, разрешенных таковыми соглашениями.

2. Двухуровневая реляционная семантика
(техническое построение и содержательные пояснения)

Язык, для которого мы будем строить семантику, содержит бесконечное число пропозициональных переменных и следующие логические связки: "·" - конъюнкцию, “Ú " - дизъюнкцию, “Ø " - отрицание и "® " - (релевантную) импликацию.

Модельная структура представляет собой пару , где W ecть бесконечное множество универсумов рассуждений (миров) w1,w2,..., wn , из которых каждый wi (i ³ 1) в свою очередь представляет собой упорядоченную пару . Первый член этой пары (первый этаж мира wi или его атомарная часть, фактуальный мир) есть некоторый список литералов (пропозициональных переменных или их отрицаний). Требование полноты, согласно которому для каждой пропозициональной переменной в атомарный мир входит или сама переменная или ее отрицание, к атомарным мирам не предъявляется. В принципе такой мир может быть даже пустым. Вместе с тем вводится требование непротиворечивости атомарных миров: никакая пропозициональная переменная a не может входить ни в какой мир wia одновременно со своим отрицанием.

В свете последних семантических веяний это столь естественное в недавнем прошлом требование может показаться теперь даже неожиданным. Скажем сразу поэтому, что в семантике Sea это требование в чисто техническом смысле не является существенным, так как по причинам, которые будут объяснены ниже, оно не исключает возможности верифицировать противоречивые формулы.

Второй член пары, wie - второй этаж мира wi, называемый также миром следствий, есть некоторое множество формул принятого объектного языка. К данному множеству предъявпяется только следующее требование конъюнктивной замкнутости:

Если A и B - элементы множества wie, то конъюнкция AB также является его элементом. И, если (C ®A) и (C ®B) - элементы множества wie, то к числу его элементов принадлежит и (C ®A B).

Формально:

(Cl1) " wj ((A Оwje)&(B Î wje) Й(AB Оwje)).

(Cl2) " wj ((C ®A) Оwje)&(C ®B) Оwje) Й (C ®AB) Оwje).

Наконец R является бинарным (рефлексивным и транзитивным) отношением достижимости на W. При этом выражения Rwiwj и Rwiawja рассматриваются как идентичные.

Мы используем выражения T(A)/wi и F(A)/wi для утверждений о верифицируемости и соответственно о фальсифицируемости формулы А в мире wi. Заметим, что эти утверждения будут рассматриваться как совершенно тождественные утверждениям T(A)/wia и F(A)/wia соответственно.

Будут справедливыми также следующие соотношения:

T(A)/wi = F(ШA)/wi и T(ШA)/wi = F(A)/wi.

Определение D1: В мире wia (и значит в мире wi) формулы верифицируются исключительно в соответствии со следующими условиями:

(1) Если A - пропозициональная переменная или ее отрицание, и A входит в список wia, то T(A)/wi.

(2) T(AB)/wi = T(А)/wi и T(B)/wi.

(3) T(АÚ B)/wi = T(А)/wi или T(B)/wi.

(4) T(Ш(AЪB))/wi = T(ША)/wi и T(ШB)/wi.

(5) T(Ш(AB))/wi = T(ШA)/wi или T(ШB)/wi.

(6) T(Ш(A ®B))/wi = $ wjRwiwj &T(A)/wj & F(B)/wj.

Мы продолжим список условий верификации формул после принятия некоторых дополнительных соглашений.

С чисто техническими целями введем с помощью подопределения (SD1) внеязыковую бинарную связку "р", которую мы называем квазиимпликацией. Заметим, что понятие правильно построенной формулы при этом не изменяется, так как знак квазиимпликации к нашему объектному языку не относится и в формулу объектного языка входить не может.

(SD1) (A рB)/wi =df " wj (Rwiwj Й(T(A)/wj Й T(B)/wj&(B Оwje))&

&(T(Ø B)/wj Й (T(Ø A)/wj&(Ø A Оwje))&(T(Ø AЪB)/wj).

Таким образом, выражение (AрB) имеет силу в мире wi, только если во всяком достижимом из wi мире wj, в котором верифицируется A, формула B также истинна, и при этом B к тому же находится на его (этого мира) втором этаже wje. То же самое имеет место в отношении формул (Ø B) и (Ø A): во всяком достижимом из wi мире wj, в котором верифицируется (Ø B), формула (Ø A) также истинна и входит в wje. Выражения (A рB) и (Ø B рØ A) поэтому являются по определению эквивалентными.

На отношение достижимости R налагаются ограничения:

Rstr 1. (AрB)/wi & " C " wj (Rwiwj Й(F(C ®B)/wj Й Й Ш(C ®A)Оwje)) Й ((C ® A) р(C ® B))/wi).

Rstr 2. (" C ((C ®A)р(C ®B))/wi Й" D ((D ®.C ®A)р(D ®.

®.C ®B))/wi .

Продолжим теперь список условий, в соответствии с которыми верифицируются формулы:

(7) T(A ®B)/wi =T(Ø B ®Ø A)/wi =(AрB)/wi & " C ((C ®A)р

р(C ®B))/wi

(8) Если T((A1 ®B1)(A2 ®B2)®C)/wi &" wj ((T(A1)/wj É

É T(B1)/wj) & (T(A2)/wj É T(B2)/wj)), то T(C)/wi .

Определение условий верификации формул завершено, и можно сделать некоторые пояснения. Обратим прежде всего внимание на то обстоятельство, что можно вести речь о верифицируемости и фальсифицируемости формулы в некотором мире wi или в его атомарной части, но не в мире следствий. В последний формулы могут только входить или не входить.

Пропозициональная переменная или же ее отрицание могут верифицироваться в мире wia также и при отсутствии их в соответствующем списке wia литералов. Так, например, в случае верности в wia импликации p ®q и ее антецедента p в этом мире в силу условий верификации p ®q будет верифицироваться q независимо от того входит ли q в список wia или же нет.

Указанное обстоятельство открывает возможность верифицировать в атомарных мирах противоречивые формулы несмотря на предъявляемое к этим мирам требование непротиворечивости относительно непосредственно входящих в них литералов. Верная импликация p ®q (при верности p) может обеспечить верифицируемость своего консеквента в мире, где верифицируется его отрицание, да и сам консеквент может изначально быть противоречивым, т.е. импликация может иметь вид сразу p ®q ·Ø q

Дизъюнкция pЪq может верифицироваться мире, в котором нельзя верифицировать ни p, ни q. Так в случае верности в мире wi импликации Шp ® q указанная дизъюнкция является истинной во всех достижимых из wi мирах, причем это означает, что во всех этих мирах истинно p или истинно q, но не обязательно известно, какое именно.

Утверждение об импликативной связи (логической или онтологической) не может быть обосновано никаким фактическим положением дел. Такого рода связь между некоторыми высказываниями (событиями) может быть только постулирована. Заметим, что и в тех случаях, когда речь идет об импликации между двумя импликациями же, истинность первой из которых детерминирует истинность второй, мы все равно не имеем ee (этой импликации импликаций) верифицируемости во всех мирах. Так, в силу D1 во всех мирах, где верно A ®B будет верифицироваться C ®A ®.C ®B. Ho cам принцип транзитивности A ®B ®.C ®A ®.C ®B, как и любой иной логический принцип, верифицировать во всех мирах не удастся. Собственно это обстоятельство и является сердцевиной и принципиальной особенностью предлагаемой семантики.

Требование, согласно которому квазиимпликация должна иметь место при верификации A ®B в соответствующем мире не только между A и B, но и между формулами (C ®A) и (С ®B), где С - произвольная формула, по виду своему является чисто экстенсиональным. Но в силу того, что число формул, которые могут ставится на место С бесконечно, нет никакой возможности реализовать это требование именно чисто экстенсиональным путем. Таким образом, экстенсиональное требование обеспечивает в нашей семантике интенсиональность в понимании следования. Дело в том, что для произвольного C обосновать ((C ®A)р(C ®B))/wi принципиально возможно только при справедливости T(A ®B)/wi .

Семантическое замыкание класса формул, верифицируемых в атомарных мирах (на первых этажах) осуществляется за счет условий верификации формул. На вторых этажах формулы не верифицируются, они туда лишь входят, и поэтому на проблему семантической замкнутости вторых этажей приходится специально обращать внимание. Ведь совсем не факт, что в случае нахождения на втором этаже формулы С там будет находиться также и C Ú C .

Требуемое замыкание осуществляется за счет пункта (8) из D1. Действительно, при верности A ® B в некотором мире wi в этом же мире верифицируется B ®C ®. A ®C , где C есть некоторое семантическое следствие из B и значит имеет силу " wi (T(B)/wi É T(C)/wi . Из B ®C ®.A ®C и названного пункта (8), позволяющего устранить B ®C , получаем утверждение о верности в формулы A ®C

3. Семантика системы Е

При построении семантики следования мы исходили из некоторого интуитивного его понимания. Мы можем теперь показать, что семантика Sea адекватна известной релевантной системе E, которая принимается здесь в следующей формулировке:

Аксиомы E:

A1.(A ®A)(B ®B) ®C ®C A2. A ®B ®.B ®C ®.A ®C

A3. A ®B ®.C ®A ®.C ®B A4. (A ®.A ®B) ®A ®B

A5. AB ® A A6. AB ® B

A7. (A ®B)(A ®C) ®.A ®BC A8. A ® AЪB

A9. B ® AЪB A10.(A ®C)(B ®C) ®.AЪB ®C

A11. A(BЪC) ® ABЪC A12. A ®B ®.ШB ®ШA

A13. AШB ®Ш(A ®B) A14. A ® ШШA

A15. ШШA ® A

Правила вывода E:

R1. Из A ®B и A следует B (Modus ponens, MP).

R2. Из A и B следует A ·B (Правило адъюнкции).

Как уже отмечалось, никакая формула A не является в семантике Sea ни тождественно истинной, ни тождественно ложной в том смысле, что всегда найдутся миры, в которых A не верифицируется, а значит, и такие в которых A не фапьсифицируется. Это относится, очевидно, и ко всем аксиомам и теоремам cистемы E. В связи с этим, чтобы иметь возможность говорить о семантической истинности теорем E, вводится специальное понимание семантической истинности.

Определение D2. Некоторая формула B называется семантически истинной в семантике Sea (символически: ЖB), если и только если во всяком мире wi, в котором верифицируется B ®B, верифицируется B. Или формально:

Ж B =df " wi(T(B ®B)/wi Й T(B)/wi).

Лемма 1. Если " wi(T(A ®A)/wi Й T(B)/wi, то ЖB.

Справедливость леммы вытекает из следующих утверждений, верных для любого мира wi:

(T(A ®A)/wi Й T(B)/wi (1)

T(B ®B)/wi Й T((A ®A) ®B ®.(A ®A) ®B)/wi (2)

T(B ®B)/wi Й T((A ®A) ®B)/wi (3)

T((A ®A) ®B)/wi Й T(B)/wi (4)

T(B ®B)/wi Й T(B)/wi (5)

Утверждение (1) очевидно берется как посылка. (2) является верным в силу транзитивности релевантной импликации. Утверждение (3) вытекает из (2) и (1) в соответствии с пунктом (8) определения D1. На основании этого же пункта является верным (4).Наконец (5) получается по транзитивности из (3) и (4). Лемма доказана.

Покажем, что все доказуемые в системе E формулы являются в Sea семантически истинными в смысле D2.

Метатеорема МТ1. Если формула B есть теорема системы E, то ЖB в Sea.

Начнем с доказательство с констатации следующего факта. Если формула имеет вид импликации A ®B, то для того, чтобы убедиться в ее семантической истинности достаточно показать, что B верифицируется во всех мирах в которых верифицируется A. Действительно, если дело обстоит указанным образом, то утверждение о семантической истинности A ®В получается из A ®B ®.A ®B немедленно в силу пункта (8) определения D1.

Приведем формальное доказательство соответствующего этому факту утверждения в качестве соответствующей леммы.

Лемма 2. Если " wi(T(A)/wi É T(B)/wi), то Æ A ® B.

Доказательство. " wi (T((A ® B) ® (A ® B))/wi É T(A ® B)/wi) и, следовательно,Æ A ® B получается из очевидного для всякого wi

T((A ® B) ® (A ® B))/wi É T((A ® B) ® (A ® B))/wi

и антецедента леммы " wi (T(A)/wi É T(B)/wi) в силу (8) из D1.

Заметим вместе с тем, что если не удается доказать, что во всех мирах, в которых верифицируется A, также верифицируется и B, то это отнюдь еще не означает, что соответствующая импликация A ®B не является семантически истинной. В качестве примера укажем на контрапозицию аналитической записи принципа МР: ШB ®Ш((A ®B)A).

Это лишь одна из причин, по которой определение семантической истинности принимается в соответствии с D2. Другая причина связана с тем, что семантически истинные формулы не обязательно имеют вид импликации. Вместе с тем, учитывая, что все аксиомы системы E имеют именно такой вид, мы для доказательства их семантической истинности будем использовать указанный выше прием, тем более, что он оказывается пригодным для всех аксиом системы.

Семантическая истинность аксиомы (A ®A)(B®B) ®C ®C (A1) немедленно вытекает из пункта (8) определения. Если в некотором мире верифицируется антецедент этой аксиомы (A ®A)(B®B)®C, то в нем в соответствии с указанным пунктом будет верифицироваться и ее консеквент C.

По причине, которая станет ясной ниже, мы обратимся прежде к аксиоме A ®B ®.C ®A ®.C ®B (A3), а затем уже вернемся к A2, выражающей другой принцип транзитивности. Легко увидеть, что в аксиоме A3 верифицируемость ее консеквента C ®A ®.C ®B является в соответствии с пунктом (7) определения D1 условием верифицируемости ее антецедента A ®B, так как последний не может быть верифицирован, если для любого С не имеет силы (C ®A)р(C ®B), а значит и (C ®A) ®(C ®B). Таким образом, аксиома А3 - семантически истинна.

Для доказательства семантической истинности A ®B ®.B ®C ®.A ®C (A2), достаточно воспользоваться фактом семантической истинности А3 и тем, что выражения вида A ®B и Ø B ®Ø A у нас по определению идентичны. В соответствии с (А3) мы имеем семантически истинную формулу Ø B ®Ø A ®.Ø С ®Ø B ®.Ø С ®Ø A . Из нее эквивалентными заменами Ø B ®Ø A, Ø С ®Ø B и Ø С ®Ø A на A ®B, B ®C и A ®C соответственно получаем требуемую аксиому А2 .

Обратимся теперь к аксиоме (A ®.A ®B) ®.A ®B (A4). Условием верификации антецедента этой аксиомы, т.е. A ®.A ®B, в некотором мире wi является верифицируемость A ®B в каждом достижимом из wi мире wJ, где верно А. И это условие согласно пункту (7) определения D1 выполняется, когда имеют силу утверждения (AрB)/wj и " C ((C ®A)р(C ®B))/wj .

Эти два последних в свою очередь являются верными, когда в каждом достижимом из каждого мира wj мире wk, в котором истинно A, между A и B и между C ®A и C ®B имеются отношения, указанные в подопределении (SD1). Однако, каждый такой мир wk в силу рефлексивности и транзитивности отношения достижимости R есть всегда достижимый из wi мир wj , в котором истинно A. Можно утверждать поэтому, что истинность антецедента аксиомы А4 (A ®.A ®B) в wi предполагает верность (AрB)/wi и " C ((C ®A)р(C ®B))/wi . Этого достаточно, чтобы признать в wi верным также и консеквент нашей аксиомы A ®B.

Что касается аксиом AB ®A (A5), AB ®B (A6), A ®AЪB (A8), B ®AЪB (A9), то их семантическая истинность вытекает из соответствующих условий верификации конъюнкции и дизъюнкции и поэтому очевидна.

Семантическая истинность (A ®B)(A ®C) ®.A ®B C (A7) вытекает из условий (Cl1) и (Cl2) конъюнктивной замкнутости мира следствий (второго этажа) каждого из миров).

Аксиома (A ®C)(B ®C) ®.AЪB ®C (А10) за счет принципов контрапозиции и законов де Моргана сводится к A7 и является в связи с этим также семантически истинной.

Семантическая истинность всех остальных аксиом

A11-A15: A(B ЪC) ®AB ЪC, A ®B ®.ШB ®ШA,

A ШB ®Ш(A ®B), A ®ШШA, и ШШA ®A очевидна.

Все аксиомы системы E семантически истинны, и значит каждая аксиома Ai (i £ 15) верифицируется во всех тех мирах, в которых верифицируется Ai ®Ai. Для завершения доказательства теоремы МТ1 достаточно показать, что имеющиеся в системе E правила вывода сохраняют для теорем это свойство в силе. Это означает, что для MP надо убедиться, что в случае, если во всяком мире, в котором верифицируется A ®B ®.A ®B, верифицируется A ®B, и если во всяком мире, в котором верифицируется A ®A, верифицируется A, тогда во всяком мире, если в нем верифицируется B ®B, то в нем верифицируется B. Формально:

(T(A ®B ®.A ®B)/wi É T(A ®B)/wi) & (T(A ®A)/wi É T(A)/wi) É . É .T(B ®B)/wi É T(B)/wi .

Покажем, что приведенное утверждение действительно справедливо. В мирах, в которых верифицируется A ®B ®.A ®B, а значит и A ®B, будет по транзитивности верной формула (A ®A) ®A ®.(A ®A) ®B. В силу семантической истинности формулы A и пункта (8) определения D1 в тех же мирах верифицируется (A ®A) ®B, а значит и формула B. А это в силу Леммы 1 означает, что B верифицируется во всех тех мирах, где верифицируется B ®B.

Для правила адъюнкции надо показать, что в случае верности утверждений T(A ®A)/wi ЙT(A)/wi и T(B ®B)/wi ЙT(B)/wi будет иметь силу также и T(AB ®AB)/wi ЙT(AB)/wi. Применение Леммы 1, как и в случае с MP делает эту задачу несложной. Обозначим как С конъюнкцию (A ®A)(B ®B) и заметим сразу, что для любого wi в силу ее семантической истинности верно T(С ®С)/wi ЙT(С)/wi . Предполагая верным AB ®AB в некотором мире wi, имеем в нем по транзитивности С ®AB ®.С ®AB. И так как посылки, к которым применяется обсуждаемое правило вывода, позволяют считать в каждом мире верным С Й AB, в соответствии с пунктом (8) из D1 получаем, что в wi верно С ®AB. И так как справедливо T(С ®С)/wi ЙT(С)/wi, имеет силу T(С ®С)/wi ЙT(AB)/wi. Что и дает по Лемме 1 нужное нам утверждение T(AB ®AB)/wi ЙT(AB)/wi.

Перейдем теперь к следующему важному шагу и покажем, что любая семантически истинная формула является теоремой системы E.

Метатеорема МТ2 (Теорема полноты). Если B является семантически истинной формулой в семантике Sea, то B есть теорема системы E. Более формально:

Если ЖB в Sea, то Г B в E.

Cтратегия доказательства состоит в том, чтобы показать, что утверждение вида

" wi (T(A ®A)/wi Й T(B)/wi) (1)

является верным только в случае, когда B есть теорема системы E. И так как в соответствии с Леммой 1 утверждение (1) равносильно утверждению о семантической истинности B, этого будет достаточно для доказательства MT2.

Поскольку никакая формула не верифицируется во всех мирах без некоторой предпосылки, очевидно, что (1) может оказаться верным только в случае, когда B получается из A ®A в силу некоторых допустимых семантических преобразований, которые определяются семантическими свойствами связок. Такие преобразования, могут быть осуществлены исключительно в силу определения D1.

Первые пять пунктов определения D1 относятся к классическим связкам, носят стандартный характер, и их применение для семантических преобразований исходной формулы всегда будет обеспечивать переход от любой теоремы E к теореме же. Пункт (6) позволяет считать Ш(A ®B) семантическим ослаблением A ШB, чему в E соответствует теорема A Ø B ® Ш(A ®B), и поэтому преобразования, осуществляемые с использованием этого пункта, также оставляют теорему системы E ее теоремой.

В соответствии с пунктом (7) определения D1 семантическим эквивалентом формулы A ®B является ШB ®ШA, а их семантическими ослаблениями ШAЪB и любые формулы вида (B ®C) ®.(A ®C) , (C ®A) ®(C ®B). Очевидно, что во всех случаях связанные с этими свойствами трансформации любой теоремы E приводят к новой теореме этой системы.

Наконец пункт (8) из D1 позволяет преобразовать в C любую формулу вида D ®C, где D есть конъюнкция семантически истинных импликаций. Так как при верности D ®C в этом случае всегда верно также D ®D ®C , то это равносильно разрешенному в системе E переходу от D ®D ®C к C .

Никаких иных семантических преобразований стоящей в антецеденте (1) формулы A ®A кроме названных осуществить нельзя. И так как A ®A есть теорема системы E , то любая формула B , получающаяся в результате этих преобразований , также будет всегда теоремой этой системы.

Таким образом, теорема о семантической полноте системы Е доказана.

Из МТ1 и МТ2 немедленно следует теорема адекватности:

Метатеорема МТ3. Утверждение Ж B верно в семантике Sea, если и только если Г B в системе E .

Заметим в заключение, что что предложенная семантика Sea может быть адаптирована к другим релевантным системам, способами более удачными в смысле семантичности, чем это имеет место в [3]. Семантика Sea позволяет также увидеть возможности усиления E, без нарушения принципов релевантности и самого духа этой системы. В частности, выявить класс верных в NR, но не в E, принципов и расширить E таким образом, чтобы E-следование совпало с необходимой импликацией из NR. Сама система NR также допускает релевантные расширения [7], которые имеют соответствующую семантическую интерпретацию. Особый интерес вызывают возможные расширения E и NR и NR (но не R , у которого таких расширений нет [19]) за счет принципов, аналоги которых неприемлемы в классической логике.

Литература

1. Sidorenko E.A. Relational semantics of entailment.- XIX World Congress of Philosophy, Moscow, 22-28 August 1993, Book of Abstracts, v.1.

2. Сидоренко Е.А. Релевантная реляционная семантика с двумирными точками соотнесения. - Труды научно-исследовательского семинара логического центра Института философии РАН, 1993. М.,1994.

3. Сидоренко Е.А. Реляционная семантика релевантных исчислений. Логические исследования, вып. 3. М., Наука, 1995, с.53-71.

4.Сидоренко Е.А. Семантика возможных миров: от лейбницевской к юмовской .- Логические исследования, вып.3.М.,Наука, 1995, с. 24-37.

5. Anderson A.R ., Belnap N.D. Entailment, v.1, Princeton, 1972.

6. Routly R ., Meyer R . The Semantics of Entailment. – Truth, Syntax and Modality (ed. by H.Leblanc). Amsterdam – 1973, p. 199–243.

7. Сидоренко Е.А. Логическое следование и условные высказывания. М., 1983, Наука, с. 173

8.Войшвилло Е.К. Философско-методологические аспекты релевантной логики.М., Изд-во МГУ, 1988.

9. Vasyukov V.L. From ternary to tetrary. - Bulletin of the Section of Logic, 23 (1994), pp. 163-167.

10.Смирнова Е.Д. Логическая семантика и философские основания логики. -М., Изд-во МГУ, 1986, 161 с.

11.Lewis C. I. A survey of symbolic logic. Berkeley, 1918.

12.Prior A.N. Formal logic. Oxford, 1955

13.Зиновьев А.А. Логика высказываний и теория вывода. М., 1962.

14.Сидоренко Е.А. Е-системы и их непротиворечивые расширения за счет классически неприемлемых принципов. - Релевантные логики и теория следования. М., Наука, 1979, с. 100-108.

15.Смирнов В.А. Формальный вывод и логические исчисления. - М., Наука, 1972.

16.Карпенко А.С. Фатализм и случайность будущего. Логический анализ. М. Наука, 1990.

17.Быстров П.И. Релевантные системы с глобальными правилами вывода. - Логические исследования, вып. 2 М., Наука, 1993.

18.Герасимова И.А. Дилемма экстенсиональности-интенсиональности и контексты с пропозициональными установками. - Логические исследования, вып. 2. М.,Наука, 1993.

19.Maksimowa L. A semantics for the calculus E of entailment. - Bulletin of the section of logic. 1973, v.2, N.1, Wroclaw).






 

Биографии знаменитых Политология UKАнглийский язык
Биология ПРАВО: межд. BYКультура Украины
Военное дело ПРАВО: теория BYПраво Украины
Вопросы науки Психология BYЭкономика Украины
История Всемирная Религия BYИстория Украины
Компьютерные технологии Спорт BYЛитература Украины
Культура и искусство Технологии и машины RUПраво России
Лингвистика (языки мира) Философия RUКультура России
Любовь и секс Экология Земли RUИстория России
Медицина и здоровье Экономические науки RUЭкономика России
Образование, обучение Разное RUРусская поэзия

 


Вы автор? Нажмите "Добавить работу" и о Ваших разработках узнает вся научная Украина

УЦБ, 2002-2020. Проект работает с 2002 года. Все права защищены (с).
На главную | Разместить рекламу на сайте elib.org.ua (контакты, прайс)